合刀真的很难吗？五分钟带你领略公会战合刀中的数学之美
引言又和大家见面了。我是《公会战物理打手输出排行 & 物三队打手节奏榜》的作者HaiL。上一篇文章用数据定量地评估了物理打手的输出能力，让一些误导性流言不攻自破。
这次想把矛头对准另一个比较热门的话题 合刀——
一个“总是听别人说起，但是又没有一个人出来用系统的科学的方法解释”的话题。
一个“在萌新玩家眼中显得特别特别高大上，仿佛只有前排公会大佬才懂”的话题。
一个“问就是甩给你一个意义不明的公式让你自己去看，看不懂就记住8.2”的话题。
一个喜欢搞一些经验主义的话题
通过这篇文章，我想告诉萌新玩家——合刀真的不难懂。
我这篇文章的主要贡献是 摒弃经验主义思想，用生动形象的图形，简单(初中水平)的数学，系统地、科学地揭示合刀的机理。
具体内容包括：
1、相比于直接收尾，为什么要选择合刀收尾？
2、白嫖刀能嫖多少伤害？
3、“伤害高的先结算” 这句话是对的吗？
4、说了这么多，到底应该如何合刀？ (第6节) 太长不看的，建议直接第6节。
楼下有个老哥总结得很生动师父吸取徒弟的内力，击败本来打不赢的强敌，是最赚的；
师父本来能打赢敌人，徒弟一起助战，一般般赚；
徒弟都能打赢的敌人，何必劳烦师父出手。
5、合刀能提升多少公会排名？
0、预备知识
公会战术语的含义 (如果有纯纯纯萌新不懂这几个词的含义的话，建议先找一个视频学习一下，比方说步玎的视频：[https://www.bilibili.com/video/BV1ze411s75x?p=2)▸
尾刀/收尾刀：给Boss最后一击的刀
(常规收尾获得)尾刀的补偿刀：给Boss最后一击后，额外获得的一刀，称为补偿刀。补偿刀时间=尾刀剩余时间+额外补偿时间(国服是10s)
合刀/(以)合刀(的形式)收尾：两名(或多名)玩家同时进入Boss，一名玩家先打完结算，另一名玩家再结算，造成过量伤害(超杀)的行为。
(合刀收尾获得)合刀的补偿刀：以合刀形式击杀Boss同样会获得补偿刀。但是获得的补偿时间与常规收尾不同。具体公式不用记，我稍后会给出其推导过程。
看到好几个人问合刀怎么结算…… 预备知识先掌握了再往后看啊kora两个人都进去，然后暂停，谁先出来谁先结算，谁最后出来谁获得补偿刀
1、基本概念： 总伤害曲线 与 平均伤害曲线
引入两个很容易理解的概念：
总伤害曲线：队伍的总伤害随时间变化的曲线。
显然，曲线(切线)的斜率就是当前时刻的瞬时DPS(damage per second，每秒伤害，简称秒伤)。秒伤越高，斜率越大，曲线越陡。
众所周知，你游目前大部分队伍的总伤害曲线大致分为如下几段：
暖机期——破甲很低，是秒伤最低的时期
UB爆发期——这段时间开始放UB，UB期的秒伤极高
过渡期——前一个UB爆发期和下一个UB爆发期中间的时期，秒伤中等
收尾期——和过渡期差不多
平均伤害曲线：总伤害曲线末端与原点的连线。 平均伤害曲线的斜率就是总的平均DPS。
根据总伤害曲线的形状，不难发现两个规律：
性质1：对于绝大部分时间，总伤害曲线在平均伤害曲线之下
推论：根据性质1，对于绝大部分时间，总伤害曲线上的点与原点的连线在平均伤害曲线之下，也就是说 中途的平均DPS < 总的平均DPS
2、为什么说“收尾刀亏伤害？” 收尾刀亏伤害
根据Boss血量，对比总伤害曲线，我们可以得到击杀Boss所用的时间T1，击杀Boss之后还剩余 90s - T1。
因为补偿刀有额外10s的补偿时间，也就是100s - T1。
需要注意的是，虽然有尾刀+补偿刀总共有100秒，但是从图中不难看出，补偿刀的伤害其实是很小的，尾刀+补偿刀的伤害 < 完整刀的伤害，也就是所谓的 “收尾刀亏伤害”。
3、为什么要合刀？——合刀的收益−
合刀的补偿时间应该怎么算？
作为一个严谨的程序员，合刀的补偿时间应该和尾刀一视同仁。也就是根据总伤害曲线，准确计算出击杀Boss所用的时间T1，然后根据T1返还 剩余时间+10s。
但是作为 日本的程序员 ，人家可能会觉得，还tm要我插值估算T1，实在是太面倒くさい了咱 俺能不能简单点？
OK，于是脑袋一拍，直接偷懒认为你的秒伤是恒定不变的，也就是用平均伤害曲线代替总伤害曲线，估算出击杀Boss所用时间T2，然后根据T2返还 剩余时间+10s。 やったぜ！
那么聪明的你会问了，这样做好处是什么呢？
当然是可以偷懒啦因为只用到了“最终伤害”这一个数据 不需要用到每一时刻的伤害数据 所以非常简单
这大概就是补偿刀看似十分复杂 实则愚蠢 的公式的由来。
补偿刀时间= 100s - (Boss剩余血量H /总伤害D) * 造成总伤害所用的时间T
[其实后面这一串式子就是 估算的击杀Boss时间T2 ]
用图形的方法解释就是：
画一条Boss剩余血量的水平线，它与平均伤害曲线的交点对应的横坐标就是估算的击杀Boss时间T2。
根据性质1，平均伤害曲线在总伤害曲线之上，也就是说合刀的补偿算法高估了我们的实际伤害，导致系统估算的击杀Boss时间 T2 < 准确的击杀时间Boss T1。
所以相比于尾刀，我们能够获得更多的补偿时间。这也就是为什么要合刀的原因。
4、白嫖刀 与 最大白嫖伤害
前面提到了，一般来说两个小刀是不如一个完整刀的。 所以为了稳妥起见，我们都希望自己的补偿刀是90s的完整刀，从而白嫖前面的伤害。
根据上一小节的讨论，我们想要通过合刀获得一个完整的补偿刀，只需要满足 系统估算的击杀Boss时间T2 < 10s。 (事实上是<10.99999秒，因为补偿时间会向上取整。所以补偿时间如果是89.00001s，最后也会获得90s)
也就是Boss血量 < 平均DPS * 10.99999 s，即 总伤害/90s * 10.99999s = 总伤害/8.18
这也就是 白嫖伤害 = 总伤害/8.2 的来源。
思考：是不是白嫖刀就是最优的？ 不一定！但白嫖刀一定是最稳健的。
有时候，89s的补偿刀有可能比白嫖刀赚的更多。
损失1s的补偿刀，就是损失最后1s的DPS。但是可以换来更多1s的白嫖 (白嫖Boss血量 = 平均DPS * 11.99999)
这里我们需要权衡的就是最后一秒的DPS和平均DPS，孰高孰低。
如果最后2s的时候UB已经全部放完，最后1s就剩几个平A，那么很有可能平均DPS更高，这样89s的补偿刀可以获得更大的收益！
但是也面临着更高的风险 比方说最后只拿了88s，最后损失了一个狗拳的UB 瞬间爆炸
5、小讨论——“合刀的时候，伤害高的先结算” 一定是正确的吗？谁先结算
不一定！ 有时恰恰相反！
个人认为，这个说法有点以讹传讹的成分在里面。
最开始“伤害高的先结算”这句话，应该是用在筛刀里的，目的是利用出刀的不确定性，来凹暴击凹伤害的。
比方说，一群人用同样的配置，进去打Boss。平均伤害是70W，绝大部分情况(99%)低于100W
结果有个神仙，刀刀暴击打出了120W，那么当然要让他先结算，他这一结算就相当于直接赚了20W。这种时候就不要想着用这个神仙刀去白嫖了，120W白嫖最多就就14W，哪有直接结算来得爽。
现在有些人喜欢说，合刀的时候也要“伤害高的先结算”。如果追问他，他还会给出下面的例子：
Boss剩100W， A一刀80W，B一刀60W。如果伤害高的A先结算，B能获得70s的补偿刀。如果伤害低的B先结算，A只能获得55s的补偿刀。 所以A要先结算。
OK，我承认老哥你前面说的都对，但是你是怎么得到 所以A要先结算 这个结论的？？ 你怎么敢断言A在55s内的伤害一定比B在70s内的伤害要低的？？
假设两个人的阵容相同，轴相同，只是练度不同。他们的总伤害曲线如下图
如果55s和70s这个时间段没有UB爆发期，则显然A在55s内的伤害更高，也就是应该让伤害低的B先结算。 反之如果有UB期，才应该让伤害高的A先结算。
事实上，如果我们假设每一时刻的DPS恒定不变，通过简单的数学推导(略)，得到的正确结论是：合刀时，一定要让伤害低的先结算
但是话说回来了，我们前面已经说了，尽量做成白嫖刀。这种55s和70s的情况最好能够避免。
6、到底如何合刀？——合刀策略
已经有了前面的知识储备，这一节我们来具体探讨，如何根据Boss血量高低选择合刀策略。
一图流：
解释：
1、如果Boss血量很低，比公会里最DD的刀还要低，那么这一刀肯定会亏伤害。(p.s. 除非Boss低到只剩血皮，摸两下就死了。那让大佬摸死，后面还能补偿完整一刀)
策略：让最DD的人去收尾，以减少损失。
2、3、如果Boss血量比最DD的刀高一点，但是比最强的一刀要低。
策略：
i. 让最强的一刀去模拟，记录击杀Boss用时T，计算得到 修正后的最高可嫖伤害D' = Boss剩余血量/T * 10.99999s。
ii. 计算 垫刀伤害 = Boss剩余血量 - 修正后的最高可嫖伤害D'。 然后让这个垫刀和最强刀进行合刀。
此时有两种情况，1)找得到这样的垫刀，那就很容易了，上就完事了。 2)找不到这样的垫刀，因为算出来的伤害比最DD刀还低，那就只能用DD刀去垫。
4、(*画重点) 如果Boss血量比最强的一刀高。 这也是我们最经常面对，最希望看到，也是最容易处理的。建议Boss剩余血量在 2倍*最强一刀的伤害 时就进行合刀的准备工作
策略：
i. 计算出 最高可嫖伤害D = 最强一刀伤害/8.2。
ii. 计算垫刀伤害 垫刀伤害 = Boss剩余血量 - 最高可嫖伤害D。然后找这个刀(也可能是多个刀)进行垫刀。
总之，掌握了第4种情况，也就能处理绝大部分场景了
实例分析
鉴于不少人反应有点看不懂，那我就再举几个例题帮助大家消化理解。
你手上有80W、70W、60W、50W、45W、40W的刀。
例1：Boss血量仅剩1000点。如何收尾？
解1：随便找一个刀，保证一动就能秒杀Boss，可获得1000点白嫖收益。
例2：Boss血量剩30W。如何收尾？
解2：符合情况1，用40W收尾，同时获得33s补偿刀。这种情况几乎不可避免损失伤害，但是可以最小化损失。
例3：Boss血量剩45W。如何收尾？
解3：符合情况2，我们先让80W的刀去模拟，假设模拟出来用时70s击杀Boss。根据公式计算 修正后的最高可嫖伤害D' = Boss剩余血量/T * 10.99999s = 7.1W。
再计算需要的垫刀伤害 = Boss剩余血量 - 修正后的最高可嫖伤害D' = 37.9W。
很遗憾我们并没有37.9W的刀，只能用最菜的40W的刀进行垫刀(结算后Boss还剩5W血)，同时用80W的刀进行合刀。(也就是对应情况2中的子情况2)
此时我们80W的刀能够获得的补偿时间是90s，白嫖了5W伤害。
例4：Boss血量剩48W。如何收尾？
解4：符合情况2，我们先让80W的刀去模拟，假设模拟出来用时72s击杀Boss。根据公式计算 修正后的最高可嫖伤害D' = Boss剩余血量/T * 10.99999s = 7.3W。
再计算需要的垫刀伤害 = Boss剩余血量 - 修正后的最高可嫖伤害D' = 40.7W。
很NB这个刀，如果把这个40W的刀换成40.7W，我这个刀叫绝杀，可是换不得。(也就是对应情况2中的子情况1)
考虑到我们必须用大于垫刀伤害的刀才能获得白嫖刀，所以只能用45W的刀进行垫刀，同时用80W的刀进行合刀。
此时我们80W的刀能够获得的补偿时间是90s，白嫖了3W伤害。
例5：Boss血量剩59.9W。如何收尾？
解5：符合情况3，我们先让80W的刀去模拟，假设模拟出来用时80s击杀Boss。根据公式计算 修正后的最高可嫖伤害D' = Boss剩余血量/T * 10.99999s = 8.2W。
再计算需要的垫刀伤害 = Boss剩余血量 - 修正后的最高可嫖伤害D' = 51.7W。
理想情况是找个51.7W的刀垫刀，白嫖8.2W伤害 ，可是换不得
由于我们没有51.7W~59.9W的刀，也就是没有垫刀可用，也就不可能完成白嫖。
这时候有两种选择：
稳妥一点，60W的刀直接收尾，还可以摸第二个Boss一下，不亏也不赚。
激进一点，尝试用50W的刀垫刀，80W的刀合刀，这样80W的刀能获得87s的补偿刀。那这样是亏是赚？ 需要让80W的刀模拟一下，看看87s相比于完整刀损失了多少伤害，如果损失伤害数小于9.9W，则实行合刀；反之放弃合刀，选择60W直接收尾。
(*87s是怎么算的？ 补偿刀时间= 100s - (Boss剩余血量H /总伤害D) * 造成总伤害所用的时间T = 100s - 9.9/59.9*80 = 86.77 )
(*画重点)例6：Boss血量剩90W。如何收尾？
解6：符合情况4，根据公式计算 最高可嫖伤害D = 最强一刀伤害/8.2 = 80/8.2= 9.7W。
再计算需要的垫刀伤害 = Boss剩余血量 - 最高可嫖伤害D = 80.3W。
80.3W显然需要两刀来凑，如果能正正好好凑到80.3W，那么可白嫖9.7W。
但是我们凑不出来，只能用一个45W和一个40W的刀来垫(结算后Boss还剩5W血)，同时最后用80W合刀。
此时我们80W的刀能够获得的补偿时间是90s，白嫖了5W伤害。
7、知道怎么合刀了，那合刀能提升多少排名？− 合刀能提升多少排名 ...
简单试算了一下各个档位公会采用合刀能提升多少排名。(数据来源 [https://bbs.nga.cn/read.php?tid=21665737 ，采用的是12日凌晨5点的数据)
200名左右的公会，以我自己所在的公会为例，最强的5刀平均伤害大概在73W上下，截止12日5点击杀了19次Boss，可白嫖的伤害为170W，考虑到我们平时也在随缘合刀，认为提升空间还有三分之二，即112W。那么合刀能提升公会排名约10名。
同理可计算得到
600名左右的公会，最强5刀伤害取70W，提升空间认为还有五分之四，合刀能提升约28名。
1200名左右的公会，最强5刀伤害取66W，提升空间认为还有八分之七，合刀能提升约64名。
2800名左右的公会，最强5刀伤害取63W，提升空间认为还有100%，合刀能提升约127名。
5000名左右的公会，最强5刀伤害取60W，提升空间认为有150%(
草 怎么还能超过100%。 这是考虑到5000档很多公会是随意收尾，或者是错误的合刀，这会导致原本是负收益)，合刀能提升约277名。
可见由于国服目前大家伤害都很低，可白嫖的伤害占Boss总血量的比重很小，所以合刀的收益还不是那么大。未来随着伤害的提升，合刀的收益会越来越大。
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