[YYGQ动物园]扩充补给'碎片能量'系统收益计算
整卡概率：1.915%分布函数计算中：
将100大保底概率均摊进每一抽，再结合单抽1.5%概率之后，得到综合概率1.915%
程序模拟中未使用综合概率，而是拟合了更实际的机制设定。
非灵魂觉醒一张整卡可转化为30碎片，灵魂觉醒角色一张整卡可转化为70碎片。
碎片掉落概率：2.25%
非灵魂觉醒角色掉落4-6片，每种数量对应的概率未知，文中以5片计算
灵魂觉醒角色掉落7-9片，每种数量对应的概率未知，文中以8片计算
每抽可以获取的能量，根据随机变量的分布情况，期望值为：32.568
非灵魂觉醒角色，每270能量解锁一片；灵魂觉醒角色，每100能量解锁一片
用于模拟数据量较大的情况，体现多人、多情况平均下来，期望中所能节省的抽数。
感谢@coesius 提供的程序模拟数据。
10W次模拟结果经简单计算可知：
“非觉醒晋升SS”：省水收益总体期望为13.1%
“灵魂觉醒晋升SS”：省水收益总体期望为15.6%
“非觉醒晋升SSS”：省水收益总体期望为13.9%
“灵魂觉醒晋升SSS”：省水收益总体期望为16.6%
这个结果也会较接近最简单算法(旧机制每抽的碎片期望/新机制每抽的碎片期望)的理论值：
带来非觉醒略低于15%、觉醒略低于18%的额外碎片收益。
当抽数越多(例如晋升SSS)，实际情况就会越接近模拟当中的情形。可以作为节约水晶量的总体参考。如图：
(本模拟包括解锁角色的第一张卡的抽取数花费)
'碎片能量'系统的好处：
1. 解决了一些极度尴尬的情况(如只差一个碎片就可以晋升)，晋升达成更加平滑。
2. 使晋升所需要的最大抽数，从略高于300，降低到了略高于200。
3. 客观上增加了每抽获得碎片量的期望值。(但具体这些多出的碎片是全用于晋升、还是成为了晋升后的冗余碎片，取决于具体情况)
建立平面直角坐标系：
X轴：新系统下，第x抽，刚好达成了晋升
Y轴：在前x抽情况完全相同时，旧系统可能要付出额外抽数的期望值
可以得到下图
[非灵魂觉醒角色晋升SS]
[灵魂觉醒角色晋升SS]
就是说，假如我抽取灵魂觉醒角色(如雷律)，晋升SS。能量系统实装后，实际中我一共花费了140抽来达成晋升。在“灵魂觉醒”图中可以找到对应横坐标x=140，对应纵坐标为略高于40。那么此时，相比于旧系统，我期望中节省了约40余抽的水晶。
注意：这个函数不可以通过直接计算积分和均值来得到节约抽数的期望值，它体现的仅仅是“对应抽数完成时，相比旧系统，期望中可以节约多少抽”，但其中具体“多少抽达成晋升”的概率是各不相同的。简单来说，x=4(四抽就晋升)和x=140(经历了140抽刚好完成晋升)，概率是有很大差别的。
令N1=“掉落整卡获得的碎片”；N2=“直接掉落的碎片与能量兑换碎片之和”
例如非灵魂觉醒角色晋升SS：需要至少100片，意味着，N1+N2≥100，若只掉落了两张整卡，需要N2提供40碎片，若掉落了三张整卡，则只需要N2提供10碎片，等等。N2决定了x的定义域分界。
Q1：能量完全白给，不是应该抽的越多就赚的越多吗，为什么函数不是单调递增的？
A1：单纯从能量的角度来说，能量获取的额外碎片，毫无疑问是抽得越多就得到越多。但是这些额外的碎片，却不一定能对“解锁晋升”全都起到关键的作用。举例来说：
1. 总计4抽或者5抽、10抽就掉了四张整卡，直接晋升。显然这几次抽取中掉落的能量都没有带来任何额外的收益
2. 对于非觉醒角色，若进行到100抽时，“刚好达成晋升”。此时不管是新机制还是旧机制，掉落碎片和能量兑换碎片的期望之和(即N2)，均在10-40之间。那就说明，是不足以以两张整卡达成晋升的。即，情况必定是，在前99抽抽到了两个整卡，且刚好在第100抽，抽到了第三张整卡。如此方能使碎片总数大于100。
此时，新能量系统带来的额外碎片，并没有对“晋升达成”起到关键作用(此时N2大于10即可，而旧系统中N2也是大于10的)，能量系统多出来的碎片，是冗余的。
当然了，如果考虑到多出来的碎片没准能补几抽就多升个星，那也确实不能说没什么实际作用。这是本计算中没有考虑在内的。
Q2：图中有的范围内，新机制能带来不错的收益，而有的范围内，却根本没有收益。是不是意味着，新系统让抽卡变得更加赌脸了？
A2：不算是。在实际抽卡中，我们真正关心的是“最后花了多少水”，而不是“相比旧机制省了多少水”。如果4抽就直接四张整卡晋升，相比过去带来的额外收益是0，但我想几乎所有人最期盼遇到的就是这种情况。(当然也确实存在抽数又多，新机制又没什么收益的“瓦坎达领域”)
较为关键的是，新系统避免了一些旧系统中“极端倒霉”的情况，比如，经过若干抽之后，我的非觉醒S碎片数是99，只差一片。如果是旧系统，那么就要硬着头皮抽下去，直到出现了“碎片掉落”或“整卡掉落”。
而新系统则只需要至多再进行9次抽取，无论是否掉落整卡或碎片，都可以依靠能量完成晋升。如果在此情况发生时，能量有一些剩余，抽数还可以进一步相应减少。
简单来说，能量系统虽然兼具两方面的作用，但相比于锦上添花，更擅长雪中送炭。
Q3：那我要是特别倒霉，几乎次次吃保底呢？新系统能带来什么好处吗？
A3：如果碎片和能量的掉落以期望值计算，新系统下，不论是否是灵魂觉醒角色，新系统都可以保证至多200抽晋升SS。而在运气最差的情况下，旧系统需要300抽才可以达成晋升。
(若碎片掉落不是按期望出现，脸比较黑的话，新系统也偶尔会出现超过200次才晋升的情况)
以灵魂觉醒角色为例(如雷律)，旧系统除整卡外只有碎片掉落，期望中需要至少223抽才能累计到40碎片。这意味着，在223抽之前，旧系统必须抽到四张整卡才能晋升，要三整卡晋升，必须至少进行到223抽或更多。
而增加了能量系统之后，只需要60抽就可以获得这40碎片，也就是说，只需要在累计总60-198抽之间，获得三张整卡即可，总抽数在199或200抽时则只需要两张整卡。
用“晋升雷律”的情景举两个简单的例子：
新：“哇，我160抽就抽到三张整卡了，搞定搞定。”
旧：“哇，我160抽就抽到三张整卡了，但是还要抽到223抽...或者在这之前再出个整卡...”
新：“我怎么次次吃保底啊，这就是非酋吗。升个SS抽了200发才搞定。”
旧：“我怎么次次吃保底啊，这就是非酋吗。升个SS抽了...300发才搞定。”
Q4：新系统有没有机缘巧合，反而比过去更坑的情况？
A4：没有，新系统对于解锁晋升带来的收益只会大于或等于旧系统。
Q5：我是否要充分利用前60抽的1.5倍能量，分两次开扩充池抽取，来晋升SS？
A5：如果充分利用两次前60抽的1.5倍能量，在“141-157抽完成晋升”这个区间内，分双池会带来一些优势。如图，141抽完成晋升时，期望中可省13.9抽的水，且随着抽数增加，期望收益将逐渐递减。而如果完成晋升的总抽数不在这个范围内，那么是否分了两个池子进行抽取，并没有太大差别(除了晋升后额外多了一些碎片)。
那么，到底要究极葛朗台，还是要一蹴而就，就交由各位舰长自己判断了。
Q6：这个计算有误差吗？
A6：有，例如“碎片掉落”是以期望值计算的，而实际中却是突然一次掉落好几片。由于本身已经将整卡的掉落概率计算在内来做收益函数，再额外考虑碎片掉落的具体情形，需要再添加一个附带概率的函数，实在过于复杂。故只选取了碎片掉落的期望值进行计算。
实际中，碎片掉落的具体情况，也会引起一些抽数的波动。就如同上面提到过的，如果“直接掉落的碎片”按期望增加数量，那么新机制下，至多200抽就可以达成晋升。但如果脸实在太黑，碎片迟迟不掉的话，抽到200抽以上的情况也是会出现的。
但由于这种“直接掉落碎片”的波动，对于新机制和旧机制都会产生影响。所以，虽然实际上会对结果产生一些干扰，但不算非常大。
Q7：一顿操作花里胡哨，可是这跟你一个月卡党又有什么关系呢？
A7：泪目。“但热闹是他们的，我什么也没有。”——朱自清《荷塘月色》
到这就是本次计算的全部内容了，计算过程由于解方程、数列求和什么的，实在冗长，就不在此放出了。
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